人　跡　不　至　的　時　空 ﹒舊　雨﹒ 　　寫下這個題目，是因為前兩天讀過 John D. Barrow 的書《Impossibility》， 中文本將之譯作“不論”，怪怪的，其實這是講人跡不至的時空。這位宇宙學 教授對科學的極限情有獨鐘，文筆又好，何況此作者博士論文正是我最喜歡的 論文之一──計算一篇文稿校樣中未找出的打印錯誤個數：一個編輯發現Ｉ個 錯字，另一編輯發現Ｊ個，他們共同發現Ｋ個，那么未發現的錯字個數Ｌ是多 少？ 　　那篇論文是繁復的証明，不過在《不論》里他有一種簡單的証明：設錯誤 總數為Ｎ，則余下錯誤數 L = N-I-J+K。前一個編輯發現錯誤的概率是 p，后 一個是 q，則有 I = pN, J = qN, K = pqN。顯然，IJ = pqNN = KN。未發現 的錯誤數 N-I-J+K = IJ/K-I-J+K 。化簡得 L = (I-K)(J-K)/K ，即僅由各自 發現的錯誤個數之積除以共同發現的錯誤個數。略提一句，這里的Ｉ、Ｊ和Ｋ 皆應是比較大的數，否則也談不上概率了。 　　Barrow 自認這個公式可以推廣， 比如“還余下多少科學發現等待著我們？” 我呢，更實際一些，要么用這個公式來算一下校稿殘留的錯字數，要么估算一 下一次野外勘察尚未發現的山花種數，或是一次出海勘察漏掉的生物種數。 　　說起難找的海洋生物，再沒有印度教保護神毗濕奴手中的那個象征生命起 源的海螺更有意思的了──那個海螺的螺紋是左旋的，平均來講在上百萬的海 螺中才有一個左旋的，毗濕奴的努力超乎我們常人，他得到了至少一個。我時 常碰到一些田野經驗丰富的生物分類鑒定學家，他們僅僅見過菟絲右旋纏藤、 何首烏左旋纏藤……而我們從前人的圖譜中知道，菟絲或有左旋纏藤、何首烏 或有右旋纏藤。我即使一輩子沒見到，不足以說明它們就沒有！我們見到的樣 品數有待擴大。 　　百萬，千萬……伊于胡底？ 　　我的學數學的朋友最近給我交了個底──有一個被數學家哈代稱之為“有 過明確數學目的的最大數”。這個大數叫做 Skewes 數，它等于 10^(10^(10^34 )) 。 　　要解釋這個數就要從勒讓德和高斯說起。他們倆實際上都發現了素數分布 定理──小于某數的素數個數大致等于該數除以其對數。不過他們沒有証明。 如果勒讓德止步于此，則他將被記為第一個猜測素數定理的人。但勒讓德并不 在此停止。他發現這個公式與實際結果有誤差，于是用他最拿手的最小二乘法 進行回歸，其結果是在素數定理的后加了一項。勒讓德與高斯之間有長時間的 競爭，在素數分布上也一樣。由于他的公式是回歸而來，所以在小范圍內他的 結果比高斯的要好，統計上稱之為 overfit。當時沒有計算機，他們用手算算 到三百萬，勒讓德的結果仍然要稍好一點。高斯呢，他堅信自己是正確的。事 實上如果他們當時算到五百萬，高斯就贏了。 　　高斯畢竟是大師，他的分布公式最終被証明是對的── Littlewood 証明 高斯的公式所得結果最終會超過實際數字，而且此后還會在實際數字上下來回 震蕩并逐漸接近實際數字。這是真正的回歸！可惜 Littlewood 沒能給出高斯 的公式超過實際數字的這個值。 　　Littlewood 的學生 Skewes 用很艱深的辦法找出了一個具體數字， 証明 至多在這個數字下高斯的公式會超出實際數字。這數就是 Skewes 數，那個大 得不得了的數。 　　高斯沒有算到 Skewes 數那么遠，但他心有大數。精誠所至金石為開，豈 虛言哉？有道是：這就是數學──人跡不至的時空。 〔完〕