每 年 年 底 我 都 要 湊 這 么 一 組 等 式 放 在 我 的 賀 年 卡 上 給 朋 友 寄 去 。 將 近 二 十 年 下 來 ， 還 沒 有 湊 不 出 來 的 時 候 。 有 時 甚 至 可 以 湊 好 几 組 。 開 始 用 手 湊 ， 后 來 干 脆 寫 程 序 讓 計 算 機 來 湊 。 這 個 程 序 如 果 用 Ｐ Ｅ Ｒ Ｌ 或 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 這 樣 的 高 級 語 言 ， 不 到 十 行 就 夠 了 。 如 果 用 Ｃ 語 言 來 寫 ， 那 就 比 較 麻 煩 。 不 但 要 排 列 算 式 ， 還 得 考 慮 到 先 乘 除 后 加 減 之 類 的 規 矩 。 如 果 你 能 寫 出 這 個 程 序 ， 那 么 你 的 Ｃ 語 言 就 可 以 說 已 經 過 了 初 級 階 段 了 。

　 　 新 年 新 氣 象 。 每 到 新 年 ， 人 們 總 要 立 下 各 種 各 樣 的 雄 心 壯 志 。 比 如 從 元 旦 開 始 跑 步 ， 或 者 從 元 旦 開 始 戒 煙 等 等 。 英 文 管 這 叫 Ｎ Ｅ Ｗ 　 Ｙ Ｅ Ａ Ｒ ’ Ｓ 　 Ｒ Ｅ Ｓ Ｏ Ｌ Ｕ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ 。 不 管 叫 什 么 ， 有 新 東 西 總 是 好 的 。 新 東 西 為 各 種 事 物 注 入 新 鮮 血 液 。 只 有 不 斷 有 新 東 西 出 現 ， 事 物 才 會 向 前 發 展 。 進 化 論 依 賴 的 主 要 途 徑 就 是 不 斷 有 新 的 變 異 出 現 。 否 則 ， 如 果 總 是 在 原 有 基 礎 上 作 排 列 組 合 ， 永 遠 也 不 會 有 現 在 的 人 類 出 現 。 但 話 又 說 回 來 ， 新 東 西 也 有 它 的 負 作 用 。 那 就 是 新 東 西 來 了 舊 東 西 就 得 讓 位 ， 而 這 些 舊 東 西 并 不 見 得 就 是 壞 東 西 。 只 不 過 空 間 或 時 間 有 限 ， 總 是 需 要 作 出 一 些 取 舍 。

　 　 我 們 還 是 以 進 化 論 為 例 。 在 進 化 過 程 中 ， 一 些 特 性 的 出 現 使 得 另 一 些 特 性 沒 有 足 夠 的 機 會 發 展 而 被 “ 淘 汰 ” 。 而 這 些 被 “ 淘 汰 ” 的 特 性 并 不 見 得 就 是 壞 的 ， 或 完 全 沒 用 的 。 搞 遺 傳 編 程 （ Ｇ Ｅ Ｎ Ｅ Ｔ Ｉ Ｃ 　 Ｐ Ｒ Ｏ Ｇ Ｒ Ａ Ｍ Ｍ Ｉ Ｎ Ｇ ） 的 人 都 知 道 ， 一 些 很 好 的 特 性 過 早 出 現 并 不 一 定 是 好 事 ， 它 會 使 少 數 一 些 模 式 壟 斷 整 個 基 因 池 ， 使 得 其 它 的 功 能 沒 有 機 會 發 展 。 現 在 的 一 些 動 物 能 聽 超 聲 或 次 聲 ， 而 人 類 卻 沒 有 這 些 能 力 ， 推 想 起 來 大 概 在 很 早 期 的 時 候 ， 這 些 功 能 被 另 外 一 些 功 能 擠 掉 了 。 再 扯 遠 一 點 ， 如 果 人 類 能 有 飛 行 能 力 該 有 多 好 。

　 　 說 了 這 么 一 大 堆 新 舊 交 替 的 辯 証 關 系 ， 主 要 還 是 想 說 我 自 己 。 在 我 新 年 開 的 單 子 上 出 現 了 許 多 新 東 西 ， 舊 東 西 的 欄 目 下 出 現 了 我 在 《 國 風 》 的 “ 靈 機 一 動 ” 專 欄 。 也 就 是 說 我 自 己 生 活 中 的 新 變 動 使 我 以 后 沒 有 時 間 繼 續 定 期 為 大 家 寫 東 西 ， 這 一 期 是 最 后 一 期 。 算 是 告 別 吧 。 第 一 期 的 標 題 是 《 開 場 白 》 ， 所 以 這 一 期 的 標 題 就 叫 《 謝 幕 詞 》 。

　 　 我 們 這 個 專 欄 辦 了 差 不 多 快 兩 年 了 。 雖 然 在 《 國 風 》 所 有 的 專 欄 中 ， 它 仍 然 屬 于 讀 者 較 少 的 一 類 。 但 還 是 有 相 當 數 量 的 讀 者 群 。 而 且 這 些 讀 者 每 期 必 讀 （ 這 可 以 從 我 們 的 討 論 欄 里 看 出 一 些 痕 跡 來 ） ， 對 此 我 還 是 比 較 欣 慰 的 。

　 　 在 過 去 這 兩 年 里 ， 我 們 的 話 題 從 牌 桌 到 賭 場 ， 從 羅 畢 塔 到 斐 波 拿 契 ， 從 乒 乓 球 、 羽 毛 球 到 登 珠 穆 朗 瑪 峰 。 回 頭 看 一 下 ， 涉 及 的 內 容 還 真 不 少 。 還 有 一 些 根 據 當 時 的 新 聞 而 寫 的 即 興 話 題 ， 現 在 看 來 有 些 東 西 并 沒 有 過 時 。 比 如 關 于 小 保 姆 案 的 決 策 問 題 現 在 又 在 克 林 頓 的 罷 免 案 上 出 現 。 如 果 克 林 頓 在 被 罷 免 以 前 辭 職 ， 則 現 在 的 副 總 統 接 任 以 后 可 以 赦 免 他 在 這 個 案 子 中 所 涉 及 的 法 律 問 題 。 如 果 他 敢 賭 對 方 拿 不 到 必 需 的 ６ ７ 票 ， 自 己 不 會 被 罷 免 ， 則 他 就 堅 持 到 底 。 但 這 樣 一 來 ， 一 旦 賭 輸 ， 不 但 會 被 罷 免 ， 而 且 還 有 可 能 坐 牢 。 因 偽 証 罪 坐 牢 的 又 不 是 沒 有 先 例 。 不 管 克 林 頓 的 民 眾 支 持 率 有 多 高 ， 賭 輸 的 可 能 性 總 是 存 在 的 。 所 以 ， 到 底 走 哪 條 路 ， 就 是 一 個 很 重 要 的 決 策 問 題 ， 我 想 克 林 頓 的 律 師 們 大 概 已 經 把 各 種 因 素 分 析 了 几 百 遍 。

　 　 我 們 專 欄 里 另 一 個 由 時 事 新 聞 引 起 的 即 興 話 題 是 全 民 普 及 教 育 問 題 。 最 近 又 有 與 此 有 關 的 很 值 得 一 談 的 事 。 重 慶 綦 江 縣 一 座 九 六 年 才 修 的 橋 最 近 突 然 坍 塌 ， 造 成 几 十 人 死 亡 ， 其 中 有 十 八 名 武 警 。 雖 說 這 橋 的 設 計 可 能 有 問 題 ， 但 另 一 個 更 重 要 的 原 因 據 說 是 因 為 武 警 們 在 橋 上 走 齊 步 ， 與 橋 形 成 共 振 而 使 其 坍 塌 。 這 種 由 共 振 而 產 生 的 坍 塌 問 題 ， 即 使 小 學 不 學 ， 中 學 也 會 提 到 的 。 這 些 知 識 甚 至 可 以 從 《 十 萬 個 為 什 么 》 這 樣 的 書 里 得 到 。 武 警 的 班 長 或 排 長 不 知 道 ， 其 它 的 十 几 個 人 里 就 沒 有 一 個 人 知 道 ？ 這 只 有 歸 罪 于 普 及 教 育 沒 有 搞 好 。

　 　 最 近 可 談 的 事 還 有 很 多 。 比 如 從 電 影 《 拯 救 大 兵 阮 恩 》 的 討 論 而 由 作 家 梁 曉 聲 重 新 挑 起 的 關 于 大 學 生 救 掏 糞 工 是 否 值 得 的 討 論 就 很 可 以 討 論 討 論 ， 足 夠 寫 一 期 專 欄 了 。 但 我 們 這 期 里 已 經 沒 有 空 間 留 給 它 ， 只 好 作 罷 。 按 照 慣 例 ， 我 們 還 是 以 討 論 上 期 題 目 來 結 束 。

　 　 上 期 的 題 目 有 兩 個 ， 一 個 是 証 明 先 走 必 贏 。 另 一 個 是 証 明 無 論 怎 么 下 都 不 會 有 和 棋 。

　 　 我 們 先 來 看 一 下 為 什 么 沒 有 和 棋 。 兩 人 論 流 下 子 ， 沒 人 連 通 對 邊 就 一 直 下 ， 直 到 填 滿 為 止 。 所 以 我 們 只 需 証 明 當 棋 盤 上 填 滿 子 時 ， 必 有 一 方 連 通 對 邊 。 這 個 問 題 如 果 用 數 學 作 嚴 格 証 明 則 比 較 復 雜 。 因 為 要 討 論 怎 樣 處 理 環 形 分 枝 的 情 況 ， 要 用 到 約 當 定 理 這 些 東 西 。 不 過 ， 作 為 趣 味 問 題 ， 我 們 不 用 太 嚴 格 。 我 們 可 以 想 象 把 棋 盤 立 起 來 ， 把 所 有 黑 子 當 水 管 ， 相 連 的 黑 棋 水 管 相 通 。 從 最 上 面 的 所 有 水 管 往 里 面 灌 水 ， 如 果 有 水 能 流 到 底 層 ， 則 說 明 黑 子 能 連 通 上 下 邊 。 如 果 沒 有 水 能 流 到 底 層 ， 則 說 明 有 白 子 組 成 一 堵 防 水 層 ， 而 這 堵 防 水 層 中 的 白 子 必 需 連 通 左 右 ， 否 則 就 會 有 水 漏 下 去 。 所 以 說 有 白 子 連 通 左 右 。 也 就 是 說 即 使 雙 方 閉 著 眼 睛 下 ， 遲 早 必 有 一 方 贏 棋 ， 沒 有 和 棋 出 現 的 可 能 。

　 　 我 們 再 來 看 看 為 什 么 先 走 必 贏 。 這 個 問 題 我 們 只 能 給 一 個 存 在 性 証 明 ， 而 不 能 給 出 構 造 性 証 明 。 否 則 Ｈ Ｅ Ｘ 這 個 棋 就 沒 有 什 么 意 義 了 。 這 種 只 給 存 在 性 而 沒 有 構 造 的 証 明 對 上 個 世 紀 的 數 學 家 來 說 還 是 不 可 以 接 受 的 事 。 至 到 希 爾 伯 特 的 時 候 還 有 人 因 此 而 貶 低 他 的 能 力 。 現 在 ， 這 種 証 明 方 法 已 被 普 遍 接 受 ， 而 且 大 量 出 現 在 微 分 方 程 、 泛 函 分 析 這 些 科 目 里 。

　 　 因 為 我 們 前 面 已 經 証 明 Ｈ Ｅ Ｘ 沒 有 和 棋 出 現 。 而 且 由 于 是 有 限 棋 盤 ， 各 種 可 能 的 下 法 有 限 。 在 所 有 的 下 法 中 ， 必 然 可 以 找 出 最 佳 下 法 ， 使 先 下 或 后 下 的 人 必 贏 。 也 就 是 說 Ｈ Ｅ Ｘ 這 種 棋 或 者 先 下 必 贏 ， 或 者 先 下 必 輸 。 現 在 我 們 假 設 先 下 必 輸 。 也 就 是 說 存 在 一 種 下 法 使 后 下 的 人 必 贏 。 如 果 真 是 這 樣 ， 那 么 先 下 的 人 可 以 隨 便 下 一 子 。 而 且 假 設 那 一 子 不 存 在 。 這 樣 一 來 后 下 的 人 就 變 成 先 下 的 人 ， 而 先 下 的 人 只 需 用 那 種 后 下 必 贏 的 辦 法 跟 著 下 即 可 。 如 果 這 種 下 法 必 需 要 在 先 下 的 人 在 最 先 下 子 的 地 方 著 子 ， 則 先 下 的 一 方 可 以 隨 意 在 其 它 地 方 放 一 子 。 因 為 任 何 已 方 的 子 都 只 能 起 正 面 作 用 ， 所 以 這 種 隨 意 放 的 子 只 能 對 先 下 的 一 方 有 幫 助 。 如 此 下 去 ， 最 后 終 久 能 贏 。 這 就 與 后 下 必 贏 相 矛 盾 。 由 此 得 出 后 下 必 贏 是 不 可 能 的 ， 所 以 只 能 得 出 先 下 必 贏 。 這 種 証 明 只 適 用 于 這 類 已 方 的 子 只 能 對 已 方 起 正 作 用 ， 而 不 能 起 負 作 用 的 棋 。 這 個 條 件 對 許 多 別 的 棋 就 不 滿 足 ， 比 如 反 棋 （ Ｏ Ｔ Ｈ Ｅ Ｌ Ｌ Ｏ ） ， 先 下 的 一 方 就 不 一 定 占 便 宜 。 因 為 自 己 的 子 有 可 能 幫 倒 忙 。 圍 棋 也 是 如 此 ， 有 的 情 況 下 多 一 子 反 而 少 一 口 氣 。

　 　 因 為 Ｈ Ｅ Ｘ 規 則 簡 單 而 又 趣 味 無 窮 ， 有 人 甚 至 把 它 稱 之 為 宇 宙 之 棋 。 這 也 許 有 點 夸 張 。 不 過 在 目 前 計 算 機 逐 漸 在 各 種 棋 上 戰 勝 人 類 的 時 候 ， Ｈ Ｅ Ｘ 還 能 堅 守 住 自 己 的 陣 地 ， 還 是 有 其 特 色 的 。 沒 有 玩 過 Ｈ Ｅ Ｘ 的 人 ， 可 以 從 上 期 的 文 章 中 找 到 一 個 軟 件 的 下 載 地 址 ， 取 來 玩 一 玩 。

　 　 上 期 題 目 就 討 論 到 這 里 。

　 　 謝 謝 大 家 在 過 去 兩 年 里 捧 場 。 更 多 趣 味 問 題 ， 請 訪 問 萬 精 油 主 辦 的 靈 機 一 動 論 壇 。

〔完〕