人　迹　不　至　的　时　空 ·旧　雨· 　　写下这个题目，是因为前两天读过 John D. Barrow 的书《Impossibility》， 中文本将之译作“不论”，怪怪的，其实这是讲人迹不至的时空。这位宇宙学 教授对科学的极限情有独钟，文笔又好，何况此作者博士论文正是我最喜欢的 论文之一——计算一篇文稿校样中未找出的打印错误个数：一个编辑发现Ｉ个 错字，另一编辑发现Ｊ个，他们共同发现Ｋ个，那么未发现的错字个数Ｌ是多 少？ 　　那篇论文是繁复的证明，不过在《不论》里他有一种简单的证明：设错误 总数为Ｎ，则余下错误数 L = N-I-J+K。前一个编辑发现错误的概率是 p，后 一个是 q，则有 I = pN, J = qN, K = pqN。显然，IJ = pqNN = KN。未发现 的错误数 N-I-J+K = IJ/K-I-J+K 。化简得 L = (I-K)(J-K)/K ，即仅由各自 发现的错误个数之积除以共同发现的错误个数。略提一句，这里的Ｉ、Ｊ和Ｋ 皆应是比较大的数，否则也谈不上概率了。 　　Barrow 自认这个公式可以推广， 比如“还余下多少科学发现等待着我们？” 我呢，更实际一些，要么用这个公式来算一下校稿残留的错字数，要么估算一 下一次野外勘察尚未发现的山花种数，或是一次出海勘察漏掉的生物种数。 　　说起难找的海洋生物，再没有印度教保护神毗湿奴手中的那个象征生命起 源的海螺更有意思的了——那个海螺的螺纹是左旋的，平均来讲在上百万的海 螺中才有一个左旋的，毗湿奴的努力超乎我们常人，他得到了至少一个。我时 常碰到一些田野经验丰富的生物分类鉴定学家，他们仅仅见过菟丝右旋缠藤、 何首乌左旋缠藤……而我们从前人的图谱中知道，菟丝或有左旋缠藤、何首乌 或有右旋缠藤。我即使一辈子没见到，不足以说明它们就没有！我们见到的样 品数有待扩大。 　　百万，千万……伊于胡底？ 　　我的学数学的朋友最近给我交了个底——有一个被数学家哈代称之为“有 过明确数学目的的最大数”。这个大数叫做 Skewes 数，它等于 10^(10^(10^34 )) 。 　　要解释这个数就要从勒让德和高斯说起。他们俩实际上都发现了素数分布 定理——小于某数的素数个数大致等于该数除以其对数。不过他们没有证明。 如果勒让德止步于此，则他将被记为第一个猜测素数定理的人。但勒让德并不 在此停止。他发现这个公式与实际结果有误差，于是用他最拿手的最小二乘法 进行回归，其结果是在素数定理的后加了一项。勒让德与高斯之间有长时间的 竞争，在素数分布上也一样。由于他的公式是回归而来，所以在小范围内他的 结果比高斯的要好，统计上称之为 overfit。当时没有计算机，他们用手算算 到三百万，勒让德的结果仍然要稍好一点。高斯呢，他坚信自己是正确的。事 实上如果他们当时算到五百万，高斯就赢了。 　　高斯毕竟是大师，他的分布公式最终被证明是对的—— Littlewood 证明 高斯的公式所得结果最终会超过实际数字，而且此后还会在实际数字上下来回 震荡并逐渐接近实际数字。这是真正的回归！可惜 Littlewood 没能给出高斯 的公式超过实际数字的这个值。 　　Littlewood 的学生 Skewes 用很艰深的办法找出了一个具体数字， 证明 至多在这个数字下高斯的公式会超出实际数字。这数就是 Skewes 数，那个大 得不得了的数。 　　高斯没有算到 Skewes 数那么远，但他心有大数。精诚所至金石为开，岂 虚言哉？有道是：这就是数学——人迹不至的时空。 〔完〕