据 说 【 灵 机 一 动 】 这 个 专 栏 在 国 风 的 各 专 栏 中 属 于 读 者 较 少 的 几 个 专 栏 之 一 。 这 并 不 是 很 奇 怪 。 玩 数 字 游 戏 ， 想 逻 辑 问 题 都 是 很 费 脑 筋 的 。 大 多 数 人 到 这 里 来 只 是 为 了 轻 松 轻 松 ， 费 脑 筋 的 事 与 他 们 的 本 意 不 合 。 如 果 我 们 的 文 章 里 有 一 些 纳 妾 ， 养 小 老 婆 ， 风 花 雪 月 ， 谈 情 说 爱 之 类 的 东 西 ， 读 者 数 量 一 定 会 增 多 。 不 过 ， 如 果 真 要 这 样 做 的 话 ， 我 们 这 个 专 栏 的 栏 目 就 不 应 该 叫 【 灵 机 一 动 】 ， 而 应 该 叫 【 花 心 一 动 】 了 。 栏 目 我 是 不 愿 意 改 的 ， 内 容 也 就 只 好 跟 题 目 走 了 。 很 多 人 不 感 兴 趣 也 没 有 办 法 。 用 【 灵 机 一 动 】 这 样 的 题 目 ， 虽 然 谈 不 上 交 了 华 盖 运 ， 但 在 读 者 数 量 上 翻 身 的 可 能 性 是 不 会 太 大 的 。 好 在 我 们 还 有 一 批 坚 定 的 读 者 （ 这 可 以 从 我 每 期 收 到 的 读 者 来 信 估 计 出 来 ） ， 而 且 据 说 读 者 数 量 还 在 上 升 。 上 升 就 好 ， 只 要 导 数 为 正 就 还 有 希 望 ， 哪 天 说 不 定 就 升 上 去 了 呢 。

　 　 最 近 的 几 期 题 目 （ 十 一 和 十 三 期 ） 的 解 都 不 约 而 同 地 用 到 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数 。 有 读 者 来 信 说 ： Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数 怎 么 如 此 奇 妙 ， 到 处 都 能 用 到 。 可 不 可 以 讲 一 讲 它 的 来 龙 去 脉 。 来 龙 到 是 可 以 讲 一 讲 ， 去 脉 就 说 不 清 楚 了 。 谁 知 它 什 么 时 候 又 会 从 别 的 什 么 地 方 钻 出 来 。

　 　 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 这 个 题 目 让 我 想 起 图 雅 。 当 初 图 雅 在 网 上 搞 “ 奥 秘 ” 工 程 ， 让 我 也 写 一 篇 数 学 方 面 的 东 西 。 因 为 读 者 对 象 是 中 小 学 生 ， 很 难 找 到 合 适 的 题 目 。 当 时 想 ， 如 果 真 逼 急 了 就 写 一 篇 关 于 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 数 的 东 西 ， 因 为 这 个 题 目 不 需 要 太 高 深 的 数 学 知 识 。 后 来 见 没 人 再 来 催 ， 我 也 乐 得 开 溜 。 如 今 图 雅 从 网 上 消 失 （ 他 自 己 说 是 要 去 巴 西 ） ， “ 奥 秘 ” 工 程 也 不 知 进 展 得 怎 么 样 了 。 我 这 篇 关 于 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 的 东 西 终 于 还 是 没 能 躲 掉 。 所 谓 躲 得 过 初 一 躲 不 过 十 五 。 欠 人 的 账 迟 早 是 要 还 的 。 好 在 我 们 的 读 者 不 是 中 小 学 生 ， 不 用 写 得 太 详 细 。 这 相 当 于 货 币 贬 值 时 还 债 ， 说 起 来 我 还 是 赚 的 。

　 　 Ｌ ｅ ｏ ｎ ａ ｒ ｄ ｏ Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 是 十 二 世 纪 意 大 利 数 学 家 。 在 国 内 通 常 译 为 斐 波 拿 契 。 这 里 的 一 些 网 友 开 玩 笑 把 他 译 成 斐 波 纳 妾 ， 比 较 有 浪 漫 色 彩 ， 我 也 就 跟 着 用 了 。 所 谓 斐 波 拿 契 数 列 就 是 ： １ ， １ ， ２ ， ３ ， ５ ， ８ ， １ ３ ， ２ １ ， ３ ４ ， … … ， 后 面 的 数 是 前 面 两 个 数 之 和 ， 以 此 类 推 。

　 　 这 个 数 列 是 怎 么 来 的 ， 为 什 么 会 有 那 么 多 应 用 呢 ？ 这 个 数 列 最 开 始 出 现 在 斐 波 拿 契 的 一 篇 数 学 文 章 里 。 他 在 文 章 里 提 出 了 一 个 兔 子 个 数 的 问 题 。 问 题 是 这 样 的 ： 一 对 兔 子 每 月 生 一 对 小 兔 。 新 生 的 小 兔 两 个 月 以 后 也 开 始 每 月 生 一 对 小 兔 。 问 ： 从 一 对 小 兔 开 始 ， 一 年 以 后 会 有 多 少 对 兔 子 。 因 为 都 是 些 简 单 数 字 ， 我 们 不 妨 跟 踪 几 个 月 。 第 一 个 月 是 一 对 小 兔 。 第 二 个 月 小 兔 还 没 长 大 ， 不 能 生 小 兔 ， 所 以 还 是 只 有 一 对 小 兔 。 第 三 个 月 小 兔 长 大 了 ， 生 下 一 对 小 兔 。 总 共 有 两 对 兔 子 。 第 四 个 月 再 生 下 一 对 小 兔 ， 总 共 有 三 对 兔 子 。 第 五 个 月 老 兔 再 生 一 对 小 兔 ， 这 时 第 三 个 月 时 生 的 小 兔 已 经 长 大 并 也 生 了 一 对 小 兔 ， 所 以 总 共 五 对 兔 子 。 如 此 推 下 去 ， 第 六 个 月 会 有 八 对 兔 子 ， 第 七 个 月 会 有 十 三 对 ， 然 后 是 ２ １ ， ３ ４ ， ５ ５ ， … … ， 推 多 了 以 后 我 们 很 容 易 发 现 ， 下 个 月 的 兔 子 总 对 数 等 于 这 个 月 的 兔 子 对 数 加 上 下 个 月 的 成 年 兔 子 的 对 数 。 而 下 个 月 成 年 兔 子 的 对 数 实 际 上 就 是 上 个 月 的 兔 子 对 数 。 简 单 说 起 来 ： 下 个 月 的 兔 子 数 等 于 这 个 月 的 兔 子 数 加 上 个 月 的 兔 子 数 。 用 公 式 来 写 就 是 ：

　 　 Ｆ （ Ｎ ＋ １ ） ＝ Ｆ （ Ｎ ） ＋ Ｆ （ Ｎ － １ ）

　 　 这 个 公 式 给 出 了 一 般 的 递 推 关 系 ， 明 年 ， 甚 至 后 年 的 兔 子 数 都 很 容 易 得 出 来 。

　 　 我 们 平 常 在 做 数 学 游 戏 或 讨 论 一 些 数 的 性 质 的 时 候 ， 常 常 发 现 一 个 数 的 性 质 依 赖 于 前 面 的 一 个 更 小 的 数 ， 如 果 前 面 更 小 的 数 能 满 足 某 种 要 求 ， 后 面 这 个 数 也 能 满 足 某 种 要 求 （ 比 如 我 们 上 期 的 题 目 ） 。 斐 波 拿 契 数 列 后 面 的 项 可 以 用 前 面 的 项 来 表 达 ， 这 具 有 一 定 的 通 性 ， 对 很 广 范 的 一 类 问 题 都 实 用 。 要 对 一 个 大 数 解 决 问 题 ， 只 需 通 过 一 定 的 步 骤 把 它 化 简 到 前 面 解 决 过 的 小 一 点 的 数 就 行 了 。 很 自 然 地 ， 许 多 完 全 不 同 的 数 字 问 题 最 后 都 跑 到 斐 波 拿 契 数 上 来 了 。 斐 波 拿 契 也 因 此 而 名 留 史 册 。

　 　 把 一 个 问 题 简 化 成 另 一 个 已 经 解 决 的 问 题 是 数 学 家 的 惯 用 技 俩 。 数 学 归 纳 法 用 的 就 是 这 个 道 理 。 有 一 个 笑 话 说 有 一 个 心 理 学 家 想 观 测 一 下 各 种 不 同 的 人 解 决 问 题 的 能 力 。 他 找 了 三 个 人 ， 一 个 是 物 理 学 家 ， 一 个 是 工 程 师 ， 一 个 是 数 学 家 。 在 一 个 大 礼 堂 的 舞 台 上 有 一 个 大 水 缸 ， 里 面 有 水 ， 旁 边 是 一 个 盆 子 。 心 理 学 家 在 礼 堂 远 处 的 地 方 点 了 一 团 火 ， 让 这 三 个 人 用 最 经 济 的 办 法 把 火 灭 掉 。 数 学 家 没 有 什 么 经 济 头 脑 ， 不 管 什 么 方 法 ， 只 要 能 解 决 问 题 就 行 。 他 把 大 水 缸 抬 到 火 旁 ， 然 后 把 水 倒 在 火 上 把 火 扑 灭 了 。 工 程 师 觉 得 数 学 家 的 办 法 不 够 经 济 。 抬 一 缸 水 去 灭 火 太 累 而 且 没 有 必 要 。 一 盆 水 就 够 了 。 于 是 他 把 水 装 到 盆 子 里 再 端 到 火 旁 用 水 把 火 扑 灭 了 。 物 理 学 家 更 厉 害 ， 连 水 都 不 用 ， 直 接 把 盆 子 扣 在 火 上 ， 由 于 没 了 氧 气 ， 火 自 动 熄 灭 。 心 理 学 家 很 满 意 。 第 二 天 又 做 了 同 样 的 实 验 。 只 不 过 这 次 水 是 在 盆 里 ， 而 不 是 在 缸 里 。 这 次 要 求 大 家 用 最 快 的 办 法 把 火 扑 灭 。 物 理 学 家 和 工 程 师 都 认 为 直 接 的 办 法 最 快 ， 两 人 都 是 直 接 把 盆 里 的 水 端 到 火 旁 将 火 扑 灭 。 而 数 学 家 却 把 水 就 近 倒 进 旁 边 的 水 缸 里 ， 然 后 扬 长 而 去 。 说 是 已 经 把 问 题 “ 简 化 ” 成 昨 天 已 经 解 决 过 的 情 况 。

　 　 我 们 再 接 着 讲 斐 波 拿 契 数 。 引 出 斐 波 拿 契 数 的 另 外 一 个 有 趣 例 子 是 蜜 蜂 的 祖 辈 数 。 据 说 公 蜂 是 从 没 有 受 过 精 的 卵 孵 化 出 来 的 。 所 以 ， 公 蜂 没 有 父 亲 ， 只 有 母 亲 。 如 果 从 一 只 公 蜂 开 始 ， 一 代 一 代 往 上 推 。 看 它 每 一 代 有 多 少 个 祖 辈 。 上 面 第 一 代 显 然 只 有 一 个 ， 就 是 它 的 母 亲 。 每 二 代 有 两 个 ， 就 是 它 的 母 亲 的 父 母 。 第 三 代 有 三 个 ， 爷 爷 的 母 亲 ， 和 奶 奶 的 父 母 。 依 此 类 推 ， 我 们 再 一 次 得 到 斐 波 拿 契 数 列 １ ， １ ， ２ ， ３ ， ５ ， ８ ， … … 。 不 过 ， 这 个 祖 辈 问 题 不 象 兔 子 的 数 量 那 么 严 格 ， 因 为 祖 辈 是 可 以 重 复 的 。 往 上 代 推 出 的 一 些 祖 辈 可 能 是 同 一 个 人 。 据 说 魏 亚 桂 在 Ａ Ｃ Ｔ 讲 往 上 推 五 百 年 （ 或 一 千 年 ） ， 大 家 都 是 一 家 人 。 他 用 的 就 是 这 种 往 上 推 祖 辈 的 方 法 。 我 想 ， 这 祖 辈 重 合 的 问 题 他 一 定 也 知 道 。 不 过 ， 虽 然 祖 辈 重 合 后 数 字 没 那 么 严 格 ， 但 大 家 是 亲 戚 的 结 论 并 不 受 影 响 。 重 合 岂 不 是 亲 上 加 亲 。 往 上 推 一 千 年 ， 很 难 有 人 能 跑 得 掉 ， 只 有 完 全 封 闭 的 群 体 才 不 会 被 数 进 来 ， 如 果 现 代 社 会 还 有 这 种 完 全 封 闭 的 群 体 ， 他 也 不 会 读 到 魏 亚 桂 的 贴 子 了 。

　 　 斐 波 拿 契 数 的 起 始 两 个 数 是 １ ， １ 。 如 果 不 是 １ ， １ 而 是 另 外 两 个 数 Ａ ， Ｂ ， 这 样 产 生 的 数 列 会 是 什 么 结 果 呢 ？ 换 句 话 说 ， 如 果 有 一 个 数 列 Ｌ ， 满 足 Ｌ （ １ ） ＝ Ａ ， Ｌ （ ２ ） ＝ Ｂ ， Ｌ （ Ｎ ＋ １ ） ＝ Ｌ （ Ｎ ） ＋ Ｌ （ Ｎ － １ ） ， 那 么 这 个 数 列 的 一 般 项 会 是 什 么 样 呢 ？ 稍 微 推 算 一 下 就 可 以 发 现 Ｌ （ Ｎ ＋ １ ） ＝ Ａ ★ Ｆ （ Ｎ － １ ） ＋ Ｂ ★ Ｆ （ Ｎ ） ， 这 里 Ｆ （ Ｎ ） 为 斐 波 拿 契 数 的 相 应 项 。 当 Ａ ＝ １ ， Ｂ ＝ １ 时 ， 我 们 就 回 到 斐 波 拿 契 数 。 当 Ａ ＝ １ ， Ｂ ＝ ３ 时 ， 我 们 得 到 另 一 个 很 重 要 的 数 列 ， Ｌ ｕ ｃ ａ ｓ 数 列 。 Ｌ ｕ ｃ ａ ｓ 数 列 在 数 论 界 还 很 受 人 注 意 ， 前 不 久 还 看 见 有 人 写 文 章 讨 论 它 的 性 质 。

　 　 斐 波 拿 契 数 列 有 一 些 简 单 但 很 有 趣 的 性 质 ： 比 如 每 过 三 项 的 数 都 是 双 数 ， 每 过 四 项 的 数 都 可 以 被 三 整 除 。 每 过 五 项 的 数 都 可 以 被 五 整 除 等 等 。 还 有 ， 前 面 Ｎ 项 的 平 方 和 等 于 Ｆ （ Ｎ ） ★ Ｆ （ Ｎ ＋ １ ） 等 等 。 以 上 这 些 性 质 都 是 很 简 单 的 性 质 。 斐 波 拿 契 数 还 有 一 个 不 太 简 单 而 且 很 重 要 的 性 质 ， 那 就 是 Ｆ （ Ｎ ） ／ Ｆ （ Ｎ ＋ １ ） 的 极 限 。 也 就 是 说 前 一 项 与 后 一 项 的 比 例 的 极 限 。 很 容 易 证 明 这 个 极 限 存 在 ， 而 且 这 极 限 还 等 于 著 名 的 黄 金 分 割 数 。 文 化 大 革 命 的 时 候 讲 究 一 切 都 要 与 实 践 相 结 合 ， 数 学 也 不 例 外 。 于 是 华 罗 庚 带 了 一 个 小 分 队 ， 到 处 推 广 优 选 法 ， 也 叫 零 点 六 一 八 法 。 这 零 点 六 一 八 也 就 是 黄 金 分 割 数 的 前 三 项 。 当 时 有 许 多 工 人 或 许 不 知 道 圆 周 率 Ｐ ｉ ， 不 知 道 自 然 对 数 的 底 Ｅ ， 但 却 都 知 道 零 点 六 一 八 。 关 于 黄 金 分 割 数 的 故 事 很 多 ， 需 要 很 多 篇 幅 ， 我 们 以 后 有 机 会 再 谈 。

　 　 讲 了 一 大 堆 斐 波 拿 契 数 ， 我 们 的 题 目 似 乎 应 该 与 它 有 关 。 但 俗 话 说 山 珍 海 味 也 有 吃 腻 的 时 候 ， 斐 波 拿 契 数 的 题 目 我 们 已 经 有 两 期 了 ， 不 想 再 加 。 好 在 这 桌 上 取 棋 子 的 游 戏 才 玩 过 一 次 ， 我 们 这 次 再 接 着 玩 。

【 上 期 题 目 讨 论 】

　 　 对 上 期 的 题 目 ， 最 自 然 的 解 法 是 先 拿 小 一 点 的 数 来 试 一 试 。 假 设 最 开 始 桌 面 上 有 两 个 棋 子 （ 原 题 说 有 一 堆 ， 一 堆 至 少 有 两 个 ） ， 则 先 拿 的 人 必 输 无 疑 。 如 果 开 始 是 三 个 ， 先 拿 的 人 也 肯 定 输 。 如 果 开 始 是 四 个 ， 则 先 拿 的 人 赢 ， 因 为 他 可 以 拿 一 个 ， 而 第 二 个 拿 的 人 只 能 拿 两 个 ， 不 能 拿 完 ， 等 于 他 从 三 开 始 。 如 果 开 始 是 五 个 ， 则 先 拿 的 人 又 要 输 。 因 为 他 如 果 拿 一 个 就 会 回 到 三 的 情 况 ， 如 果 他 拿 两 个 ， 则 对 方 可 以 一 次 拿 完 了 。 ２ ， ３ ， ５ 都 是 先 拿 必 输 的 数 。 下 一 个 这 样 的 数 是 几 呢 ？ 找 下 一 个 这 种 数 的 基 本 思 想 是 要 能 回 到 上 一 个 已 经 知 道 的 数 ， 如 果 我 们 从 上 一 个 数 出 发 ， 加 上 再 上 一 个 数 ， 因 为 再 上 一 个 数 也 是 一 个 注 定 要 输 的 数 ， 所 以 我 们 总 可 以 回 到 上 一 个 数 。 如 此 推 下 去 ， 很 容 易 发 现 下 一 个 注 定 要 输 的 数 是 ８ ， 再 下 一 个 是 １ ３ ， … … ， 这 就 是 著 名 的 斐 波 拿 契 数 列 。 事 实 上 ， 可 以 证 明 斐 波 拿 契 数 列 正 好 是 这 个 取 子 游 戏 的 死 点 。 也 就 是 说 如 果 起 始 数 是 斐 波 拿 契 数 ， 则 必 输 无 疑 （ 当 然 我 们 假 定 对 方 用 最 佳 方 式 取 子 ） 。 如 果 不 是 斐 波 拿 契 数 ， 则 先 取 子 的 人 可 以 有 办 法 赢 。 具 体 的 证 明 请 参 见 本 专 栏 的 讨 论 区 中 读 者 给 出 的 证 明 。 有 一 个 读 者 还 给 出 了 具 体 的 拿 法 ， 并 附 有 一 个 用 Ｃ 语 言 写 的 程 序 。 有 兴 趣 的 可 以 去 取 来 看 （ 也 在 讨 论 区 中 ） 。

　 　 有 些 读 者 思 想 很 活 ， 做 完 原 题 后 就 考 虑 更 一 般 的 情 况 。 比 如 ， 如 果 下 一 个 拿 的 人 所 受 的 限 制 不 是 前 一 个 人 的 两 倍 ， 而 是 三 倍 ， 四 倍 甚 至 Ｋ 倍 ， 情 况 会 怎 样 ？ 如 果 你 去 读 讨 论 区 ， 你 会 发 现 有 人 已 经 给 出 了 三 倍 的 情 况 。 其 实 ， 不 管 是 几 倍 ， 解 题 的 思 路 还 是 一 样 的 。 总 是 从 小 数 开 始 ， 然 后 想 办 法 把 大 的 数 用 小 的 数 来 表 示 。 两 倍 的 吸 引 力 在 于 简 单 而 且 有 斐 波 拿 契 数 为 解 。

　 　 我 第 一 次 见 这 个 题 时 还 是 十 多 年 前 在 北 京 读 研 究 生 的 时 候 ， 当 时 想 出 了 解 法 但 却 不 懂 计 算 机 。 后 来 学 了 一 些 计 算 机 语 言 ， 最 开 始 写 的 几 个 程 序 之 一 就 有 这 个 游 戏 。 这 也 是 十 年 以 前 的 事 了 。 我 在 【 灵 机 一 动 】 第 一 期 里 说 在 《 国 风 》 办 趣 味 问 题 专 栏 比 在 Ａ Ｃ Ｔ 好 是 因 为 这 里 可 以 附 图 。 现 在 又 发 现 另 一 个 好 处 ， 那 就 是 可 以 玩 游 戏 。 大 家 读 我 们 的 专 栏 都 要 用 某 种 流 览 器 。 这 些 流 览 器 都 是 可 以 玩 游 戏 的 。 于 是 我 把 我 十 多 年 前 写 的 程 序 改 成 Ｊ ａ ｖ ａ （ 那 时 候 大 家 还 用 Ｆ Ｏ Ｒ Ｔ Ｒ Ａ Ｎ ） 。 我 的 程 序 中 允 许 读 者 自 己 设 定 初 始 值 和 倍 数 ， 比 单 纯 的 两 倍 游 戏 要 有 趣 一 点 。 大 家 可 以 试 一 试 。 需 要 说 明 的 是 ： 我 只 是 想 弄 一 个 游 戏 可 以 工 作 就 行 了 ， 对 界 面 的 设 计 ， 按 钮 的 位 置 没 有 做 太 多 的 考 虑 ， 请 大 家 将 就 着 用 。 以 后 有 机 会 或 许 可 以 弄 得 好 一 点 。

〔完〕